Cifrele urmează pe om peste tot. Chiar și corpul nostru este în ton cu lumea lor - avem un anumit număr de organe, dinți, păr și celule ale pielii. Numărarea a devenit o acțiune obișnuită, automată, așa că este greu de imaginat că odată oamenii nu știau numerele. De fapt, istoria apariției numerelor poate fi urmărită încă din cele mai vechi timpuri.

Numere și primitive

La un moment dat, o persoană a simțit o mare nevoie de un cont. Pe ea a lui

inspirat de viața însăși. Era necesar să se organizeze cumva tribul, trimițând doar un anumit număr de oameni să vâneze sau să adune. Prin urmare, și-au folosit degetele pentru numărare. Până acum, există triburi care arată o mână în loc de numărul „5”, și două în loc de zece. Cu un algoritm atât de simplu de numărare, istoria apariției numerelor a început să se dezvolte.

numere prime

Istoria apariției numerelor ne permite să observăm că oamenii au descoperit de mult diferența dintre un număr par și impar, precum și diverse relații în cadrul expresiilor numerice în sine. O contribuție semnificativă la acest lucru
studiile au fost făcute de grecii antici. De exemplu, omul de știință grec Eratosthenes a creat o modalitate destul de ușoară de căutare numere prime. Pentru a face acest lucru, a notat în ordine numărul necesar de cifre, apoi a început să taie - mai întâi toate numerele care pot fi împărțite la doi, apoi - la trei. Rezultatul a fost o listă de numere care nu sunt divizibile cu nimic, în afară de unul și el însuși. Această metodă a fost numită „sita lui Eratosthenes” datorită faptului că grecii nu au tăiat, ci au scos numere inutile pe tabletele acoperite cu ceară.

Astfel, istoria apariției numerelor este un fenomen străvechi și profund. Potrivit oamenilor de știință, a început acum aproximativ 30 de mii de ani. În acest timp, multe s-au schimbat în viața unei persoane. Dar până astăzi, ea ne ghidează existența.

Proprietățile numerelor prime au fost studiate pentru prima dată de matematicieni Grecia antică. Matematicienii școlii pitagoreice (500 - 300 î.Hr.) au fost interesați în primul rând de proprietățile mistice și numerologice ale numerelor prime. Au fost primii care au venit cu idei despre numere perfecte și prietenoase.

Un număr perfect are proprii divizori egali cu el însuși. De exemplu, divizorii proprii ai numărului 6 sunt: ​​1, 2 și 3. 1 + 2 + 3 = 6. Împărțitorii numărului 28 sunt 1, 2, 4, 7 și 14. Mai mult, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Numerele sunt numite prietenoase dacă suma divizorilor proprii ai unui număr este egală cu altul și invers - de exemplu, 220 și 284. Putem spune că un număr perfect este prietenos cu el însuși.

Până la apariția lucrării „Începuturilor” lui Euclid în 300 î.Hr. Mai multe fapte importante despre numerele prime au fost deja dovedite. În Cartea a IX-a a Elementelor, Euclid a demonstrat că există un număr infinit de numere prime. Apropo, acesta este unul dintre primele exemple de utilizare a dovezii prin contradicție. El demonstrează, de asemenea, Teorema de bază a aritmeticii - fiecare număr întreg poate fi reprezentat într-un mod unic ca produs de numere prime.

El a mai arătat că dacă numărul 2 n -1 este prim, atunci numărul 2 n-1 * (2 n -1) va fi perfect. Un alt matematician, Euler, în 1747 a fost capabil să arate că toate numerele par perfecte pot fi scrise în această formă. Până în prezent, nu se știe dacă există numere perfecte impare.

În anul 200 î.Hr. Greacul Eratostene a venit cu un algoritm pentru găsirea numerelor prime numit Sita lui Eratosthenes.

Și apoi a avut loc o mare pauză în istoria studiului numerelor prime asociate cu Evul Mediu.

Următoarele descoperiri au fost făcute deja la începutul secolului al XVII-lea de către matematicianul Fermat. El a demonstrat conjectura lui Albert Girard că orice număr prim de forma 4n+1 poate fi scris unic ca o sumă a două pătrate și a formulat, de asemenea, o teoremă conform căreia orice număr poate fi reprezentat ca o sumă a patru pătrate.

El a dezvoltat o nouă metodă de factorizare pentru numere mari și a demonstrat-o pe numărul 2027651281 = 44021 ? 46061. El a demonstrat și Mica Teoremă a lui Fermat: dacă p este un număr prim, atunci pentru orice număr întreg a, a p = a modulo p va fi adevărată.

Această afirmație demonstrează jumătate din ceea ce era cunoscut sub numele de „ipoteza chineză” și datează cu 2000 de ani mai devreme: un număr întreg n este prim dacă și numai dacă 2n-2 este divizibil cu n. A doua parte a ipotezei s-a dovedit a fi falsă - de exemplu, 2341 - 2 este divizibil cu 341, deși numărul 341 este compus: 341 \u003d 31? unsprezece.

Mica Teoremă a lui Fermat a stat la baza multor alte rezultate în teoria numerelor și a metodelor de testare a numerelor prime, multe dintre ele fiind încă utilizate astăzi.

Fermat a corespuns extins cu contemporanii săi, în special cu un călugăr pe nume Marin Mersenne. Într-una dintre scrisorile sale, el a presupus că numerele de forma 2 n + 1 vor fi întotdeauna prime dacă n este o putere a lui doi. El a testat acest lucru pentru n = 1, 2, 4, 8 și 16 și a fost sigur că atunci când n nu este o putere a doi, numărul nu este neapărat prim. Aceste numere se numesc numere Fermat și abia 100 de ani mai târziu Euler a arătat că următorul număr, 232 + 1 = 4294967297, este divizibil cu 641 și, prin urmare, nu este prim.

Numerele de forma 2 n - 1 au făcut, de asemenea, obiectul cercetării, deoarece este ușor de arătat că dacă n este compus, atunci numărul în sine este și compus. Aceste numere sunt numite numere Mersenne pentru că le-a studiat în mod activ.

Dar nu toate numerele de forma 2 n - 1, unde n este prim, sunt prime. De exemplu, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Acesta a fost descoperit pentru prima dată în 1536.

Timp de mulți ani, numerele de acest fel au dat matematicienilor cele mai mari numere prime cunoscute. Că numărul M 19 a fost dovedit de Cataldi în 1588 și timp de 200 de ani a fost cel mai mare număr prim cunoscut, până când Euler a demonstrat că M 31 este și prim. Acest record a ținut încă o sută de ani, iar apoi Lucas a arătat că M 127 este prim (și acesta este deja un număr de 39 de cifre), iar după aceea, cercetările au continuat odată cu apariția computerelor.

În 1952, s-a dovedit primitatea numerelor M 521 , M 607 , M 1279 , M 2203 și M 2281.

Până în 2005, au fost găsite 42 de numere prime Mersenne. Cel mai mare dintre ele, M 25964951, este format din 7816230 de cifre.

Lucrarea lui Euler a avut un impact imens asupra teoriei numerelor, inclusiv asupra numerelor prime. El a extins Teorema Mică a lui Fermat și a introdus funcția ?. S-a factorizat al 5-lea număr Fermat 2 32 +1, a găsit 60 de perechi de numere prietenoase și a formulat (dar nu a reușit să demonstreze) legea pătratică a reciprocității.

El a fost primul care a introdus metodele de analiză matematică și a dezvoltat teoria analitică a numerelor. El a dovedit că nu numai seria armonică? (1/n), dar și o serie a formei

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Obținut prin suma cantităților inverse numerelor prime, de asemenea, diverge. Suma celor n termeni ai seriei armonice crește aproximativ ca log(n), în timp ce a doua serie diverge mai lent, ca log[ log(n) ]. Aceasta înseamnă că, de exemplu, suma reciprocelor tuturor numerelor prime găsite până în prezent va da doar 4, deși seria încă diverge.

La prima vedere, se pare că numerele prime sunt distribuite între numere întregi mai degrabă aleatoriu. De exemplu, printre cele 100 de numere imediat înainte de 10000000, există 9 numere prime, iar dintre cele 100 de numere imediat după această valoare sunt doar 2. Dar pe segmentele mari, numerele prime sunt distribuite destul de uniform. Legendre și Gauss s-au ocupat de distribuția lor. Gauss i-a spus odată unui prieten că în orice 15 minute libere el numără întotdeauna numărul de numere prime din următoarele 1000 de numere. Până la sfârșitul vieții, numărase toate numerele prime până la 3 milioane. Legendre și Gauss au calculat în mod egal că pentru n mare densitatea primelor este 1/log(n). Legendre a estimat numărul de prime între 1 și n ca

?(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Și Gauss - ca o integrală logaritmică

?(n) = ? 1/log(t)dt

Cu un interval de integrare de la 2 la n.

Afirmația despre densitatea numerelor prime 1/log(n) este cunoscută sub numele de Teorema numerelor prime. Au încercat să demonstreze acest lucru de-a lungul secolului al XIX-lea, iar Cebyshev și Riemann au făcut progrese. Ei au legat-o cu Ipoteza Riemann, o conjectie nedovedită până acum despre distribuția zerourilor funcției zeta Riemann. Densitatea numerelor prime a fost demonstrată simultan de Hadamard și de la Vallée-Poussin în 1896.

În teoria numerelor prime, există încă multe întrebări nerezolvate, unele dintre ele vechi de multe sute de ani:

• ipoteza prime gemene - despre un număr infinit de perechi de numere prime care diferă între ele cu 2
• Conjectura lui Goldbach: orice număr par, începând de la 4, poate fi reprezentat ca suma a două numere prime
• Există un număr infinit de numere prime de forma n 2 + 1?
• este întotdeauna posibil să găsim un număr prim între n 2 și (n + 1) 2? (faptul că există întotdeauna un număr prim între n și 2n a fost demonstrat de Cebyshev)
• Există un număr infinit de numere prime Fermat? există numere prime Fermat după a 4-a?
• există o progresie aritmetică a numerelor prime consecutive pentru orice lungime dată? de exemplu, pentru lungimea 4: 251, 257, 263, 269. Lungimea maximă găsită este 26 .
• Există un număr infinit de mulțimi de trei numere prime consecutive într-o progresie aritmetică?
• n 2 - n + 41 este un număr prim pentru 0 ? n? 40. Numărul acestor numere prime este infinit? Aceeași întrebare pentru formula n 2 - 79 n + 1601. Aceste numere sunt prime pentru 0? n? 79.
• Există un număr infinit de numere prime de forma n# + 1? (n# este rezultatul înmulțirii tuturor numerelor prime mai mici decât n)
• Există un număr infinit de numere prime de forma n# -1?
• Există un număr infinit de numere prime de forma n? +1?
• Există un număr infinit de numere prime de forma n? - unu?
• dacă p este prim, 2 p -1 nu include întotdeauna printre factorii primelor pătrate
• Conține șirul lui Fibonacci un număr infinit de numere prime?

Cele mai mari numere prime gemene sunt 2003663613 ? 2 195000 ± 1. Sunt formate din 58711 cifre și au fost găsite în 2007.

Cel mai mare număr prim factorial (de forma n! ± 1) este 147855! - 1. Este format din 142891 de cifre și a fost găsit în 2002.

Cel mai mare număr prim primar (un număr de forma n# ± 1) este 1098133# + 1.

Puteți ajuta și transfera niște fonduri pentru dezvoltarea site-ului

MOU „Școala secundară Chastoozerskaya”

Lucrări de cercetare pe tema:

„Numerele stăpânesc lumea!”

Lucrare finalizata:

elev de clasa a VI-a.

Supraveghetor: ,

profesor de matematică.

Cu. Chastozerie.

I. Introducere. -3str.

II. Parte principală. -4str.

Matematica grecilor antici. - 4str.

· Pitagora din Samos. -6str.

· Pitagora și numerele. -8str.

2. Numerele sunt prime și compuse. -10p.

3. Problema lui Goldbach. -12str.

4. Semne de divizibilitate. -13str.

5. Proprietăți curioase ale numerelor naturale.-15p.

6. Trucuri de numere. -18str.

III. Concluzie. -22str.

IV. Bibliografie. -23str.

I. Introducere.

Relevanţă:

Studiind subiectul „Divizibilitatea numerelor” la lecțiile de matematică, profesorul a sugerat pregătirea unui raport despre istoria descoperirii numerelor prime și compuse. În timp ce pregăteam mesajul, m-au interesat cuvintele lui Pitagora „Numerele conduc lumea!”

Au apărut întrebări:

Când a început știința numerelor?

Cine a contribuit la dezvoltarea științei numerelor?

· Semnificația numerelor în matematică?

Am decis să studiez în detaliu și să generalizez materialul despre numere și proprietățile lor.

Scopul studiului: studiază numerele prime și compuse și arată rolul lor în matematică.

Obiectul de studiu: numere prime și compuse.

Ipoteză: Dacă, în cuvintele lui Pitagora, „Numerele conduc lumea,

care este rolul lor în matematică.

Obiectivele cercetării:

I. Colectați și rezumați tot felul de informații despre numere prime și compuse.

II. Arată semnificația numerelor în matematică.

III. Arată proprietăți curioase ale numerelor naturale.

Metode de cercetare:

· Analiza teoretică a literaturii.

· Metoda de sistematizare si prelucrare a datelor.

II. Parte principală.

1. Istoria apariției științei numerelor.

Matematica grecilor antici.

Atât în ​​Egipt, cât și în Babilon, numerele erau folosite în principal pentru rezolvarea problemelor practice.

Situația s-a schimbat când grecii s-au apucat de matematică. În mâinile lor, matematica a trecut de la a fi un meșteșug la o știință.

Triburile grecești au început să se stabilească pe țărmurile de nord și de est ale Mediteranei în urmă cu aproximativ patru mii de ani.

Majoritatea grecilor s-au stabilit în Peninsula Balcanică - unde se află acum statul Greciei. Restul s-au stabilit pe insulele Mării Mediterane și de-a lungul coastei Asiei Mici.

Grecii erau navigatori excelenți. Navele lor ușoare, cu nasul ascuțit, au arat Marea Mediterană în toate direcțiile. Au adus vase și bijuterii din Babilon, arme de bronz din Egipt, piei de animale și pâine de pe țărmurile Mării Negre. Și, desigur, ca și alte popoare, navele aduceau cunoștințe în Grecia împreună cu mărfuri. Dar grecii nu sunt justi

învăţat de la alte popoare. Foarte curând și-au depășit profesorii.

Meșterii greci au construit palate și temple de o frumusețe uimitoare, care au servit apoi drept model pentru arhitecții din toate țările timp de mii de ani.

Sculptorii greci au creat statui minunate din marmură. Și odată cu oamenii de știință greci, a început nu numai matematica „adevărată”, ci și multe alte științe pe care le studiem la școală.

Știți de ce grecii au depășit toate celelalte națiuni în matematică? Pentru că erau buni la ceartă.

Cum pot disputele să ajute știința?

În antichitate, Grecia era formată din multe state mici. Aproape fiecare oraș cu sate înconjurătoare era un stat separat. De fiecare dată când era necesar să se rezolve o problemă importantă de stat, orășenii se adunau în piață și discutau despre asta. S-au certat despre cum să facă mai bine, apoi au votat. Este clar că erau buni dezbateri: la astfel de întâlniri trebuiau să-și infirme adversarii, să argumenteze, să-și dovedească cazul. Grecii antici credeau că disputa ajută la găsirea celor mai buni. Cel mai decizia corectă. Au venit chiar și cu o astfel de zicală: „Adevărul se naște într-o dispută”.

Și în știință, grecii au început să facă același lucru. Ca la o ședință publică. Nu doar au memorat regulile, ci au căutat motive: de ce este corect să faci asta și nu altfel. Matematicienii greci au încercat să explice fiecare regulă, să demonstreze că nu este adevărată. S-au certat între ei. S-au certat, au încercat să găsească erori în raționament.

Vor dovedi o regulă - raționamentul duce la o alta, mai complexă, apoi la a treia, la a patra. Legile au fost făcute din reguli. Și din legi - știința matematicii.

Abia născută, matematica greacă a mers imediat înainte cu salturi. Ea a fost ajutată de ghete de mers minunate, pe care alte națiuni nu le aveau înainte. Au fost numite „raționament” și „dovadă”.

· Pitagora din Samos.

Primul care a vorbit despre numere a fost grecul Pitagora, care s-a născut pe insula Samosey în secolul al VI-lea î.Hr.

Prin urmare, el este adesea numit Pitagora din Samos. Grecii au spus multe legende despre acest gânditor.

Pitagora a arătat devreme aptitudine pentru științe, iar părintele Mnesarh l-a dus în Siria, în Tir, pentru a fi predat acolo de înțelepții caldeeni. Ea află despre misterele preoților egipteni. Arzând de dorința de a intra în cercul lor și de a deveni inițiat, Pitagora începe să se pregătească pentru o călătorie în Egipt. Petrece un an în Fenicia, la școala de preoți. Apoi va vizita Egiptul, Heliopolis. Dar preoții locali erau neprietenoși.

după ce a dat dovadă de perseverență și a rezistat la teste de intrare extrem de dificile, Pitagora își atinge scopul - este acceptat în castă.A petrecut 21 de ani în Egipt, a studiat perfect toate tipurile de scriere egipteană și a citit multe papirusuri. Faptele cunoscute egiptenilor în matematică îl conduc la propriile sale descoperiri matematice.

Înțeleptul a spus: „Sunt lucruri în lume pentru care trebuie să te străduiești. Este, în primul rând, frumos și glorios, În al doilea rând, util pentru viață, în al treilea rând, oferind plăcere. Cu toate acestea, plăcerea este de două feluri: unul, care ne satisface lacomia cu lux, este dezastruoasă; celălalt este drept și necesar pentru viață”.

Locul central în filosofia elevilor și adepților lui Pitagora a fost ocupat de numere:

« Acolo unde nu există număr și măsură - există haos și himere,

„Cel mai înțelept lucru este numărul”

„Numerele conduc lumea”.

Prin urmare, mulți îl consideră pe Pitagora părintele numerotării - un complex, învăluit în știința misterioasă, care descrie evenimentele din acesta, dezvăluie trecutul și viitorul, prezice soarta oamenilor.

· Pitagora și numerele.

Numerele de către grecii antici, și împreună cu acestea de către Pitagora și pitagoreeni, au fost concepute vizibil sub formă de pietricele așezate pe nisip sau pe o tablă de numărat - un abac.

Numerele de pietricele au fost așezate sub formă de corect forme geometrice, aceste cifre au fost clasificate, astfel încât au apărut numerele care astăzi se numesc numere ondulate: numere liniare (adică numere prime) - numere care sunt divizibile cu unul și prin ele însele și, prin urmare, pot fi reprezentate ca o succesiune de puncte aliniate.

https://pandia.ru/text/79/542/images/image006_30.jpg" width="312" height="85 src=">

numere solide exprimate ca produs al trei factori

https://pandia.ru/text/79/542/images/image008_20.jpg" width="446" height="164 src=">

numere pătrate:

https://pandia.ru/text/79/542/images/image010_15.jpg" width="323" height="150 src=">

și. etc. din numerele ondulate expresia „ Ridicați un număr la un pătrat sau un cub».

Pitagora nu s-a limitat la figuri plate. Din puncte, a început să adauge piramide, cuburi și alte corpuri și să studieze numerele piramidale, cubice și alte numere (vezi Fig. 1). Apropo, titlul numărul cubuluiîl folosim și astăzi.

Dar Pitagora nu a fost mulțumit de cifrele obținute din diferite cifre. La urma urmei, el a proclamat că numerele conduc lumea. Prin urmare, a trebuit să-și dea seama cum să folosească numerele pentru a reprezenta concepte precum dreptatea, perfecțiunea, prietenia.

Pentru a înfățișa perfecțiunea, Pitagora s-a ocupat de divizori ai numerelor (în același timp, a luat divizorul 1, dar nu a luat numărul în sine). El a adăugat toți divizorii unui număr, iar dacă suma se dovedea a fi mai mică decât numărul, a fost declarată insuficientă, iar dacă este mai mare, a fost declarată excesivă. Și numai în cazul în care suma a egalat exact numărul, a fost declarată perfectă. Numerele de prietenie erau descrise într-un mod similar - două numere erau numite prietenoase dacă fiecare dintre ele era egal cu suma divizorilor celuilalt număr. De exemplu, numărul 6 (6=1+2+3) este perfect, numărul 28 (1+2+4+7+17) este perfect. Următoarele numere perfecte sunt 496, 8128, .

2. Numerele sunt simple și compuse.

Matematica modernă își amintește numerele prietenoase sau perfecte cu un zâmbet ca un hobby al copilăriei.

Iar conceptele de numere prime și compuse introduse de Pitagora sunt încă subiectul unor cercetări serioase, pentru care matematicienii primesc premii științifice înalte.

Din experiența de calcul, oamenii știau că fiecare număr este fie un prim, fie un produs al mai multor numere prime. Dar nu au putut dovedi. Pitagora sau unul dintre adepții săi au găsit dovada acestei afirmații.

Acum este ușor de explicat rolul numerelor prime în matematică: ele sunt blocurile din care se construiesc alte numere cu ajutorul înmulțirii.

Descoperirea modelelor într-o serie de numere este un eveniment foarte plăcut pentru matematicieni: până la urmă, aceste modele pot fi folosite pentru a construi ipoteze, pentru a testa dovezi și formule. Una dintre proprietățile numerelor prime care ocupă matematicienii este că refuză să se supună oricărui tipar.

Singura modalitate de a determina dacă 100.895.598.169 este un număr prim este să folosiți „siuta lui Eratosthenes”, care necesită mult timp.

Tabelul arată una dintre opțiunile pentru această sită.

În acest tabel, toate numerele prime mai mici de 48 sunt încercuite. Ele se găsesc astfel: 1 are un singur divizor - în sine, deci 1 nu este considerat număr prim. 2 este cel mai mic (și doar par) număr prim. Toate celelalte numere pare sunt divizibile cu 2, ceea ce înseamnă că au cel puțin trei divizori; prin urmare, nu sunt simple și pot fi tăiate. Următorul număr neîncrucișat este 3; are exact doi divizori, deci este prim. Toate celelalte numere care sunt multipli de trei (adică cele care pot fi împărțite la 3 fără rest) sunt tăiate. Acum primul număr neîncrucișat este 5; este simplu și toți multiplii săi pot fi tăiați.

Continuând să tăiați multiplii, puteți filtra toate numerele prime mai mici de 48.

3. Problema lui Goldbach.

Din numere prime, puteți obține orice număr folosind înmulțirea. Ce se întâmplă când adaugi numere prime?

Matematicianul Goldbach, care a trăit în Rusia în secolul al XVIII-lea, a decis să adauge numere prime impare doar în perechi. A descoperit un lucru uimitor: de fiecare dată a reușit să reprezinte un număr par ca suma a două numere prime. (cum era cazul pe vremea lui Goldbach, considerăm că 1 este un număr prim).

4 = 1 +3, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5. etc.

https://pandia.ru/text/79/542/images/image016_5.jpg" width="156" height="191 src=">

Goldbach a scris despre observația sa marelui matematician

Secolul al XVIII-lea Leonard Euler, care a fost membru al Academiei de Științe din Sankt Petersburg. După ce a verificat mai multe numere pare, Euler s-a asigurat că toate sunt sume a două numere prime. Dar există o infinitate de numere pare. Prin urmare, calculele lui Euler au dat doar speranță că toate numerele au proprietatea pe care Goldbach a observat-o. Cu toate acestea, încercările de a demonstra că așa va fi întotdeauna nu au dus nicăieri.

Timp de două sute de ani, matematicienii se gândesc la problema lui Goldbach. Și doar omul de știință rus Ivan Matveyevich Vinogradov a reușit să facă pasul decisiv. El a stabilit că orice număr natural suficient de mare este

suma a trei numere prime. Dar numărul de la care afirmația lui Vinogradov este adevărată este inimaginabil de mare.

4. Semne de divizibilitate.

489566: 11 = ?

Pentru a afla dacă un anumit număr este prim sau compus, nu trebuie să ne uităm întotdeauna la tabelul numerelor prime. Adesea este suficient să folosiți criterii de divizibilitate pentru aceasta.

· Semn de divizibilitate cu 2.

Dacă intrarea numar natural se termină cu un număr par, atunci acest număr este par și divizibil cu 2 fără rest.

· Semn de divizibilitate cu 3.

Dacă suma cifrelor unui număr este divizibil cu 3, atunci numărul este și divizibil cu 3.

· Semnul divizibilității cu 4.

Un număr natural care conține cel puțin trei cifre este divizibil cu 4 dacă numărul format din ultimele două cifre ale acestui număr este divizibil cu 4.

· Semnul divizibilității cu 5.

Dacă notația unui număr natural se termină cu 0 sau 5, atunci acest număr este divizibil cu 5 fără rest.

· Semn de divizibilitate cu 7 (cu 13).

Un număr natural este divizibil cu 7 (13), dacă suma algebrică a numerelor care formează fețele a trei cifre fiecare (începând cu cifra unităților), luată cu semnul „+” pentru fețele impare și cu semnul „minus” pentru fețele pare, a fost împărțit la, compunem suma algebrică a fețelor, începând de la ultima față și alternând semnele + și -: + 254 = 679. Numărul 679 este divizibil cu 7, ceea ce înseamnă că și acest număr este divizibil cu 7.

· Semn de divizibilitate cu 8.

Un număr natural care conține cel puțin patru cifre este divizibil cu 8 dacă numărul format din ultimele trei cifre este divizibil cu 8.

· Semn de divizibilitate cu 9.

Dacă suma cifrelor unui număr este divizibilă cu 9, atunci numărul în sine este divizibil cu 9.

· Semnul divizibilității cu 10.

Dacă un număr natural se termină cu 0, atunci este divizibil cu 10.

· Semnul de divizibilitate 11.

Un număr natural este divizibil cu 11 dacă suma algebrică a cifrelor sale, luată cu semnul plus dacă cifrele sunt în locuri impare (începând cu cifra unităților) și luată cu semnul minus dacă cifrele sunt în locuri pare, este divizibil cu, 7 - 1 + 5 = 11, divizibil cu 11).

· Semn de divizibilitate cu 25.

Un număr natural care conține cel puțin trei cifre este divizibil cu 25 dacă numărul format din ultimele două cifre ale acestui număr este divizibil cu 25.

· Semn de divizibilitate cu 125.

Un număr natural care conține cel puțin patru numere este divizibil cu 125 dacă numărul format din ultimele trei cifre ale acestui număr este divizibil cu 125.

5. Proprietăți curioase ale numerelor naturale.

Numerele naturale au multe proprietăți curioase care sunt descoperite atunci când se efectuează operații aritmetice asupra lor. Dar este totuși mai ușor să observi aceste proprietăți decât să le dovedești. Să aruncăm o privire la unele dintre aceste proprietăți.

1) .Să luăm la întâmplare un număr natural, de exemplu 6, și să scriem toți divizorii lui: 1, 2, 3.6. Pentru fiecare dintre aceste numere, notează câți divizori are. Deoarece 1 are un singur divizor (numărul în sine), 2 și 3 au doi divizori, iar 6 are 4 divizori, obținem numerele 1, 2, 2, 4. Au o caracteristică minunată: dacă ridici aceste numere la cub. și adunăm răspunsurile, obținem exact aceeași sumă pe care am obține-o adunând mai întâi aceste numere și apoi pătratând suma, cu alte cuvinte,

https://pandia.ru/text/79/542/images/image019_3.jpg" width="554" height="140 src=">

Calculele arată că răspunsul este același în stânga și în dreapta, și anume 324.

Orice număr luăm, proprietatea pe care am observat-o va fi executată. Doar că este destul de greu de dovedit.

2) . Să luăm orice număr din patru cifre, de exemplu 2519, și să îi aranjam mai întâi numerele în ordine descrescătoare, apoi în ordine crescătoare: și De la Mai mult scade pe cel mai mic: =8262. Să facem același lucru cu numărul rezultat: 86=6354. Și încă un pas: 65= 3087. În plus, = 8352, = 6174. Te-ai săturat de citit? Să mai facem un pas: =6174. Din nou s-a dovedit 6174.

Acum, așa cum spun programatorii, suntem „fixați”: indiferent de câte ori vom scădea acum, nu vom obține altceva decât 6174. Poate că ideea este că numărul original 2519 a fost ales în acest fel? se dovedește că nu are nimic de-a face cu asta: indiferent ce număr din patru cifre luăm, după cel mult șapte pași vom obține cu siguranță același număr 6174.

3) . Desenăm mai multe cercuri cu un centru comun și scriem oricare patru numere naturale pe cercul interior. Pentru fiecare pereche de numere învecinate, scădeți pe cel mai mic din cel mai mare și scrieți rezultatul pe următorul cerc. Se pare că, dacă repeți acest lucru de destule ori, pe unul dintre cercurile lor toate numerele se vor dovedi a fi egale cu zero și, prin urmare, nimic în afară de zerouri se va dovedi mai departe. Figura arată acest lucru pentru cazul în care numerele 25, 17, 55, 47 sunt scrise pe cercul interior.

4) . Să luăm orice număr (chiar și o mie de cifre) scris sistem zecimal socoteala. Să punem la pătrat toate numerele sale și să le adunăm. Să facem același lucru cu suma. Se pare că după mai mulți pași obținem fie numărul 1, după care nu vor mai fi alte numere, fie 4, după care avem numerele 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 și din nou. obține 4. Asta înseamnă că ciclul nu se evită și aici.

5. Să facem o astfel de masă infinită. În prima coloană scriem numerele 4, 7, 10, 13, 16, ... (fiecare următor este cu 3 mai mult decât precedentul). Din numărul 4 trasăm o linie la dreapta, mărind la fiecare pas numerele cu 3. Din numărul 7 trasăm o linie, mărind numerele cu 5, din numărul 10 - cu 7 etc. Următorul tabel este obținut:

Dacă luați orice număr din acest tabel, îl înmulțiți cu 2 și adăugați 1 la produs, veți obține întotdeauna un număr compus. Dacă facem același lucru cu un număr care nu este inclus în acest tabel, atunci obținem un număr prim. De exemplu, să luăm din tabel numărul 45. Numărul 2*45+1=91 este compus, este egal cu 7*13. Și numărul 14 nu este în tabel, iar numărul 2*14+1=29 este prim.

Acest mod minunat de a distinge numerele prime de cele compuse a fost inventat în 1934 de un student indian Sundaram. Observațiile numerelor ne permit să descoperim și alte afirmații minunate. Proprietățile lumii numerelor sunt cu adevărat inepuizabile.

Trucuri numerice.

https://pandia.ru/text/79/542/images/image022_2.jpg" width="226" height="71">

La urma urmei, dacă scrieți din nou același număr lângă un număr din trei cifre, atunci numărul inițial va fi înmulțit cu 1001 (de exemplu, 289 289 = 289https://pandia.ru/text/79/542/images/ image024_3.jpg" width="304" height="74">

Și numerele din patru cifre se repetă o dată și se împart la 73 137. Răspunsul este egal

https://pandia.ru/text/79/542/images/image026_6.jpg" width="615" height="40 src=">

Rețineți că cuburile numerelor 0, 1, 4, 5, 6 și 9 se termină cu același număr (de exemplu, https://pandia.ru/text/79/542/images/image028_4.jpg" width="24" height= "24 src=">.jpg" width="389" height="33">

În plus, trebuie să vă amintiți următorul tabel, care arată unde încep puterile a cincea dintre următoarele numere:

https://pandia.ru/text/79/542/images/image032_2.jpg" width="200 height=28" height="28"> Deci, trebuie să adăugați numărul 3 la numărul de cinci cifre inițial scrise pe tablă și scădeți 3 din numărul rezultat.

Pentru ca publicul să nu ghicească trucul, puteți reduce prima cifră a oricăruia dintre numere cu mai multe unități și puteți reduce cifra corespunzătoare în sumă cu același număr de unități. De exemplu, în figură, prima cifră din al treilea termen este redusă cu 2, iar cifra corespunzătoare din sumă cu aceeași sumă.

Concluzie.

După ce am colectat și rezumat materialul despre numere prime și compuse, am ajuns la concluzia:

1. Doctrina numerelor datează din cele mai vechi timpuri și are o istorie bogată.

2. Rolul numerelor prime în matematică este mare: ele sunt blocurile din care sunt construite toate celelalte numere cu ajutorul înmulțirii.

3. Numerele naturale au multe proprietăți curioase. Proprietățile lumii numerelor sunt cu adevărat inepuizabile.

4. Materialul pregătit de mine poate fi folosit în siguranță la lecțiile de matematică și la orele de cerc de matematică. Acest material vă va ajuta să vă pregătiți mai bine tipuri variate olimpiade.

Introducere

Un număr prim este un număr natural care are exact doi divizori naturali diferiți: unul și el însuși. Toate celelalte numere, cu excepția 1, sunt numite numere compuse. Astfel, toate numerele naturale mai mari decât unu sunt împărțite în prime și compuse. Teoria numerelor este studiul proprietăților numerelor prime.

Teorema fundamentală a aritmeticii afirmă că orice număr natural mai mare decât unu poate fi reprezentat ca produs de numere prime, și într-un mod unic, până la ordinea factorilor. Astfel, numerele prime sunt „blocurile” elementare ale numerelor naturale.

Reprezentarea unui număr natural ca produs de numere prime se numește descompunere sau factorizare a unui număr.

Din istoria numerelor prime

Matematicianul grec Eratosthenes, care a trăit mai bine de 2000 de ani î.Hr., a întocmit primul tabel al numerelor prime. Eratostene s-a născut în orașul Cirene, a fost educat în Alexandria sub îndrumarea lui Calimah și Lisania, la Atena i-a ascultat pe filozofii Ariston din Chios și Arcesilaus și s-a apropiat de școala lui Platon. În 246 î.Hr., după moartea lui Callimachus, regele Ptolemeu Euergetes l-a chemat din Atena pe Eratostene și l-a instruit să gestioneze Biblioteca din Alexandria. Eratostene a lucrat în multe domenii ale științei: filologie, gramatică, istorie, literatură, matematică, cronologie, astronomie, geografie și muzică.

Pentru a găsi numere prime, Eratostene a venit cu această metodă. El a notat toate numerele de la 1 la un anumit număr, apoi a tăiat unitatea, care nu este nici un număr prim, nici compus, apoi a tăiat printr-unul toate numerele de după 2 (numerele care sunt multipli ai lui 2, adică 4,6, 8 etc.). Primul număr rămas după 2 a fost 3. Apoi toți multiplii lui 3 au fost tăiați, adică. 6,9,12 etc. În cele din urmă, doar numerele prime au rămas nebarite. (fig.1)

Deoarece grecii făceau notițe pe tăblițe acoperite cu ceară sau pe papirus întins, iar numerele nu erau tăiate, ci perforate cu un ac, tabelul de la sfârșitul calculelor semăna cu o sită. Prin urmare, metoda lui Eratosthenes se numește sita lui Eratosthenes: în această sită, numerele prime sunt „eliminate” de cele compuse. În acest fel, în prezent se întocmesc tabele cu numere prime, dar cu ajutorul computerelor.

Numerele prime în natură și utilizarea lor de către om

1) Cicadele periodice

Oamenii au schimbat lumea din jurul nostru, au construit orașe incredibile și au dezvoltat tehnologii impresionante care au condus la lumea modernă. Ascunsă sub învelișul exterior al planetei în care trăim, lumea invizibilă este formată din numere, secvențe și geometrie. Matematica este codul care dă sens întregului univers.

În pădurile din Tennessee în această vară, o parte din codul în cauză a crescut literalmente din pământ. La fiecare 13 ani, timp de aproximativ 6 săptămâni, corul insectelor vrăjește pe toți cei care sunt martorii acestui fenomen natural rar. Supraviețuirea acestor cicade, care pot fi găsite doar în regiunile estice America de Nord depinde de proprietățile ciudate ale unora dintre cele mai fundamentale numere din matematică - numere prime, numere divizibile numai de ele însele și de altele.

Cicadele apar aici periodic, dar apariția lor are loc întotdeauna în acei ani ale căror numere constau din numere prime. În cazul Brood care a apărut în jurul Nashvillei în acest an, au trecut 13 ani de când s-au născut ultima dată. Alegerea unui ciclu de 13 copii nu pare întâmplătoare. LA părți diferite America de Nord, există încă două pui, al căror ciclu de viață este de asemenea de 13 ani. Ele apar în diferite regiuni și în ani diferiti, dar între aparițiile acestor ființe vii trec exact 13 ani. În plus, există încă 12 puiet de insecte care apar la fiecare 17 ani.

Puteți lua aceste numere ca fiind complet aleatorii. Dar este foarte curios că nu există cicade cu un ciclu de viață de 12, 14, 15, 16 sau 18 ani. Cu toate acestea, priviți aceste cicade prin ochii unui matematician și imaginea începe să se clarifice. Deoarece numerele 13 și 17 sunt ambele indivizibile, acest lucru conferă cicadelor un avantaj evolutiv față de alte animale ale căror cicluri de viață sunt mai degrabă periodice decât numere prime. Luați, de exemplu, un prădător care apare în păduri la fiecare șase ani. Apoi, ciclurile de viață de opt sau nouă ani ale cicadelor vor coincide cu ciclurile de viață ale prădătorilor, în timp ce ciclurile de viață de șapte ani vor coincide mult mai rar cu ciclul de viață al unui prădător.

Aceste insecte au manipulat codul matematic pentru a supraviețui.

2) Criptografia

Cicadele au descoperit utilitatea folosirii numerelor prime pentru supraviețuirea lor, dar oamenii și-au dat seama că aceste numere nu sunt doar cheia supraviețuirii, ci și o cantitate imensă de material de construcție în matematică. Fiecare număr este în esență o colecție de numere prime, iar colecția de numere este matematică, iar din matematică obțineți întreaga lume științifică.

Numerele prime se găsesc ascunse în natură, dar omenirea a învățat să le folosească.

Înțelegerea naturii fundamentale a acestor numere și utilizarea proprietăților lor de către oameni, le pune literalmente la baza tuturor codurilor care sunt păzite de secretele cibernetice ale lumii.

Criptografia care ne păstrează cardurile de credit în siguranță atunci când cumpărăm ceva online folosește aceleași numere care protejează cicadele din America de Nord - numere prime. De fiecare dată când introduceți numărul cardului dvs. de credit pe un site web, vă bazați pe numere prime pentru a vă păstra secretele și informațiile despre dvs. private. Pentru a vă codifica cardul de credit, computerul primește de pe site un număr public H, care va fi folosit pentru a efectua tranzacții cu cardul dvs. de credit.

Acest lucru vă amestecă datele, astfel încât e-mailul codificat să poată fi trimis prin internet. Site-ul web folosește numerele prime care împart numărul H în pentru a decoda mesajul. Deși H este număr deschis, numerele prime din care constă, sunt cheile secrete care decriptează datele. Motivul pentru care această codificare este atât de sigură este că este foarte ușor să înmulțiți numere prime împreună, dar este aproape imposibil să factorizați un număr în numere prime.

3) Ghicitori de numere prime

Numerele prime sunt atomii aritmeticii, hidrogenul și oxigenul lumii numerelor. Dar, în ciuda naturii lor fundamentale, ele sunt și unul dintre cele mai mari mistere ale matematicii. Pentru că, pe măsură ce te plimbi prin universul numerelor, este aproape imposibil să prezici unde vei găsi următorul număr prim.

Știm că numărul de numere prime merge la infinit, dar căutarea modelelor în apariția primelor este cel mai mare mister al matematicii. Un premiu de un milion de dolari este promis celui care poate rezolva misterul acestor numere. Misterul când cicadele au început să folosească numere prime pentru a supraviețui este la fel de complex ca și misterul numerelor prime în sine.

Numerele prime sunt „capricioase”. Tabelele cu numere prime relevă mari „neregularități” în distribuția numerelor prime

Diversitatea tabloului de distribuție a numerelor prime crește și mai mult dacă observăm că există perechi de numere prime care sunt separate în seria naturală printr-un singur număr („gemeni”). De exemplu. 3 și 5, 5 și 7, 11 și 13, 10016957 și 10016959. Pe de altă parte, există perechi de numere prime cu multe compozite între ele. De exemplu, toate cele 153 de numere de la 4652354 la 4652506 sunt compuse.

Pentru găsirea numerelor prime din peste 100.000.000 și 1.000.000.000 de cifre zecimale, EFF a acordat premii în bani de 150.000 USD și, respectiv, 250.000 USD.

Numerele prime sunt numere întregi mai mari decât unul care nu pot fi reprezentate ca produsul a două numere mai mici. Deci 6 nu este un număr prim pentru că poate fi reprezentat ca un produs al lui 2x3, dar 5 este un număr prim deoarece singura modalitate de a-l reprezenta ca produs al două numere este 1x5 sau 5x1. Dacă aveți mai multe monede, dar nu le puteți aranja pe toate într-un dreptunghi, ci le puteți alinia doar în linie dreaptă, numărul dvs. de monede este un număr prim.

Un număr infinit de numere prime

Unii oameni cred că numerele prime nu merită un studiu profund, dar sunt fundamentale pentru matematică. Fiecare număr poate fi reprezentat într-un mod unic ca numere prime înmulțite între ele. Aceasta înseamnă că numerele prime sunt „atomi de înmulțire”, particule mici din care se poate construi ceva mare.

Deoarece numerele prime sunt blocurile de bază ale numerelor întregi care sunt obținute prin înmulțire, multe probleme cu numere întregi pot fi reduse la probleme cu numere prime. În mod similar, unele probleme din chimie pot fi rezolvate folosind compoziția atomică a elementelor chimice implicate în sistem. Astfel, dacă ar exista un număr finit de numere prime, s-ar putea verifica pur și simplu unul câte unul pe un computer. Cu toate acestea, se dovedește că există un număr infinit de numere prime care acest moment prost înțeles de matematicieni.

Matematicianul grec Euclid a demonstrat că există un număr infinit de numere prime. Dacă aveți un anumit număr de numere prime, cum ar fi p1,…pn, puteți lua în considerare numărul p1×…×pn + 1, care este cu unul mai mult decât toate numerele prime înmulțite între ele. Acest număr nu poate fi produsul niciunuia dintre numerele p1,... pn din lista dvs., dar este cu siguranță mai mare decât 1. Deci, toți factorii primi trebuie să fie numere prime care nu sunt în lista dvs. Adăugând noi numere prime în lista dvs. și repetă aceiași pași, puteți găsi întotdeauna cel puțin un nou prim. Prin urmare, trebuie să existe un număr infinit de numere prime.

Istoria studiilor

Nimeni nu știe cu siguranță în ce societate au fost considerate pentru prima dată numerele prime. Ele au fost studiate atât de mult încât oamenii de știință nu au înregistrări ale acelor vremuri. Există speculații că unele civilizații timpurii aveau o oarecare înțelegere a numerelor prime, dar prima dovadă reală pentru acest lucru provine din înregistrările cu papirusuri egiptene făcute cu peste 3.500 de ani în urmă.

Grecii antici au fost cel mai probabil primii care au studiat numerele prime ca subiect de interes științific și credeau că numerele prime sunt importante pentru matematica pur abstractă. Teorema lui Euclid este încă predată în școli, în ciuda faptului că are peste 2.000 de ani.

După greci, s-a acordat o atenție serioasă numerelor prime din nou în secolul al XVII-lea. De atunci, mulți matematicieni celebri au adus contribuții importante la înțelegerea noastră a numerelor prime. Pierre de Fermat a făcut multe descoperiri și este cel mai bine cunoscut pentru Ultima Teoremă a lui Fermat, o problemă cu numere prime veche de 350 de ani, rezolvată de Andrew Wiles în 1994. Leonhard Euler a demonstrat multe teoreme în secolul al XVIII-lea, iar în secolul al XIX-lea o mare descoperire a fost făcută de Carl Friedrich Gauss, Pafnuty Chebyshev și Bernhard Riemann, în special în ceea ce privește distribuția numerelor prime. Toate acestea au culminat cu ipoteza Riemann, nerezolvată până acum, care este adesea numită cea mai importantă problemă nerezolvată din întreaga matematică. Ipoteza Riemann face posibilă prezicerea foarte precisă a apariției numerelor prime și, de asemenea, explică parțial de ce sunt atât de dificile pentru matematicieni.

Aplicații practice

Numerele prime au un număr mare de aplicații atât în ​​domeniul matematicii, cât și nu numai. Numerele prime sunt folosite aproape zilnic în aceste zile, deși majoritatea oamenilor nu își dau seama. Numerele prime sunt atât de importante pentru oamenii de știință, deoarece sunt atomii de multiplicare. O mulțime de probleme abstracte despre înmulțire ar putea fi rezolvate dacă oamenii ar ști mai multe despre numerele prime. Matematicienii descompun adesea o problemă în câteva mai mici, iar numerele prime ar putea ajuta la acest lucru dacă le-ar înțelege mai bine.

În afara matematicii, principalele aplicații ale numerelor prime sunt legate de calculatoare. Calculatoarele stochează toate datele ca o secvență de zerouri și unu, care poate fi exprimată ca un întreg. Multe programe de calculator multiplică numerele asociate cu date. Aceasta înseamnă că chiar sub suprafață se află numere prime. Când o persoană face orice achiziție online, el profită de faptul că există modalități de a multiplica numere greu de descifrat pentru un hacker, dar ușor pentru un cumpărător. Acest lucru funcționează datorită faptului că numerele prime nu au caracteristici speciale - în caz contrar, un atacator ar putea obține datele cardului bancar.

Căutați numere prime noi

O modalitate de a găsi numere prime este căutarea pe computer. Verificând în mod repetat dacă un număr este un factor de 2, 3, 4 și așa mai departe, se poate determina cu ușurință dacă este prim. Dacă nu este un factor al niciunui număr mai mic, este prim. Acesta este de fapt o modalitate care consumă foarte mult timp de a afla dacă un număr este prim. Cu toate acestea, există modalități mai bune de a determina acest lucru. Performanța acestor algoritmi pentru fiecare număr este rezultatul unei descoperiri teoretice din 2002.

Există o mulțime de numere prime, așa că dacă luați un număr mare și adăugați unul la el, puteți da peste un număr prim. De fapt, multe programe de calculator se bazează pe faptul că numerele prime nu sunt prea greu de găsit. Aceasta înseamnă că, dacă selectați aleatoriu un număr din 100 de cifre, computerul dvs. va găsi un număr prim mai mare în câteva secunde. Deoarece există mai multe numere prime de 100 de cifre decât atomi în univers, este posibil ca nimeni să nu știe cu siguranță că acest număr este prim.

De regulă, matematicienii nu caută numere prime individuale pe computer, dar sunt foarte interesați de numere prime cu proprietăți speciale. Există două probleme binecunoscute: există un număr infinit de numere prime care sunt unul mai mult decât un pătrat (de exemplu, acest lucru contează în teoria grupurilor) și există un număr infinit de perechi de numere prime care diferă între ele cu 2 .

Secretele numerelor prime

În ciuda faptului că numerele prime au fost studiate de mai bine de trei milenii și au o descriere simplă, în mod surprinzător se știe puțin despre numerele prime. De exemplu, matematicienii știu că singura pereche de numere prime care diferă cu 1 sunt 2 și 3. Cu toate acestea, nu se știe dacă există un număr infinit de perechi de numere prime care diferă cu 2. Se presupune că există, dar aceasta nu a fost încă dovedit. Este o problemă care poate fi explicată unui copil de vârstă școlară, dar cele mai mari minți din matematică s-au încurcat asupra ei de peste 100 de ani.

Multe dintre cele mai interesante întrebări despre numere prime, atât din punct de vedere practic, cât și teoretic, sunt câte numere prime au o anumită proprietate. Răspunsul la cea mai simplă întrebare - câte numere prime de o anumită mărime există - poate fi obținut teoretic prin rezolvarea ipotezei Riemann. Un stimulent suplimentar pentru a demonstra Ipoteza Riemann este un premiu de un milion de dolari oferit de Institutul de Matematică Clay, precum și un loc de onoare printre cei mai remarcabili matematicieni din toate timpurile.

Acum există modalități bune de a ghici care va fi răspunsul corect la multe dintre aceste întrebări. În acest moment, presupunerile matematicienilor trec toate experimentele numerice și există fundamente teoretice să se bazeze pe ei. Cu toate acestea, este extrem de important pentru matematica pură și funcționarea algoritmilor de calculator ca aceste presupuneri să fie de fapt corecte. Matematicienii pot fi pe deplin mulțumiți doar dacă au o dovadă incontestabilă.

Cea mai serioasă provocare pentru aplicarea practică este dificultatea de a găsi toți factorii primi ai unui număr. Dacă iei numărul 15, poți determina rapid că 15=5×3. Dar dacă luați un număr de 1000 de cifre, calcularea tuturor factorilor primi va dura mai mult de un miliard de ani, chiar și pentru cel mai puternic supercomputer din lume. Securitatea pe internet depinde foarte mult de complexitatea acestor calcule, așa că este important ca securitatea comunicațiilor să știe că cineva nu poate găsi o modalitate rapidă de a găsi factorii principali.

Cercetare modernă

Chiar dacă acest subiect este vechi și a afectat mulți matematicieni celebri de-a lungul istoriei, este încă relevant. Oamenii de știință nu știu dacă există infinite perechi de numere prime precum 3 și 5 care diferă cu 2. Aceasta este o problemă cunoscută nerezolvată. Matematicianul Ethan Zhang a făcut un mare progres în ceea ce privește această problemă. La începutul anului 2013, oamenii de știință nu știau dacă există un număr infinit de perechi de numere prime la 1 quintilion unul de celălalt, sau pentru orice număr, altul decât 1 quintilion, indiferent de magnitudinea acestuia. Datorită dezvoltărilor teoretice bazate pe lucrările lui Zhang, matematicienii știu că există un număr infinit de numere prime care diferă între ele cu cel mult 246. Numărul 246 este mult mai mare decât doi, dar este vizibil mai mic decât infinitul.

În loc să cauți numere prime care sunt în apropiere, le poți căuta pe cele care sunt departe unul de celălalt pe linia numerică. O descoperire teoretică notabilă asupra acestei probleme a fost făcută pentru prima dată în mai bine de 75 de ani la începutul anului 2014, când cercetătorii de la Institutul de Matematică din Oxford au rezolvat una dintre problemele lui Erdős. Celelalte două soluții interesante la problemele lui Erdő legate de numerele prime au fost ale lui Bob Hough și Terence Tao, a căror activitate s-a bazat pe o altă descoperire a lui Kaisa Matomaki și Maxim Rajwill în 2014. Harald Gelfgott și David Platt au dovedit în cele din urmă conjectura slabă a lui Goldbach, culminând cu o sută de ani de diverse descoperiri. Matematicienii sunt obișnuiți să aștepte zece ani înainte de a ajunge la un rezultat serios în domeniul numerelor prime, dar de această dată au primit o jumătate de duzină de astfel de rezultate în ultimii trei ani.

Numerele prime în viitor

În prezent, este imposibil de spus cum vor fi folosite numerele prime în viitor. Matematica pură (de exemplu, studiul numerelor prime) a găsit în mod repetat aplicații care ar fi putut părea complet de necrezut atunci când teoria a fost dezvoltată pentru prima dată. Din nou și din nou, ideile care au fost percepute ca un interes academic minunat, inutilizabile în lumea reală, s-au dovedit a fi surprinzător de utile pentru știință și tehnologie. Godfrey Harold Hardy, un matematician celebru de la începutul secolului al XX-lea, a susținut că numerele prime nu au o adevărată utilizare. Patruzeci de ani mai târziu, a fost descoperit potențialul numerelor prime pentru comunicarea cu computerul, iar acestea sunt acum vitale pentru utilizarea de zi cu zi a internetului.

Deoarece numerele prime sunt în centrul problemei numerelor întregi și deoarece numerele întregi se găsesc constant în viata reala, numerele prime vor avea aplicații omniprezente în lumea viitorului. Acest lucru este valabil mai ales având în vedere modul în care Internetul pătrunde în viață, iar tehnologia și computerele joacă un rol mai important decât oricând.

Există opinia că anumite aspecte ale teoriei numerelor și numerelor prime depășesc cu mult domeniul de aplicare al științei și al computerelor. În muzică, numerele prime explică de ce unele modele ritmice complexe necesită mult timp pentru a se repeta. Acesta este uneori folosit în muzica clasică modernă pentru a obține un anumit efect sonor. Secvența Fibonacci apare tot timpul în natură și se presupune că cicadele au evoluat pentru a hiberna doar pentru un număr de ani pentru a obține un avantaj evolutiv. De asemenea, se presupune că transmiterea numerelor prime prin unde radio ar fi cel mai bun mod să încerce să stabilească o legătură cu formele de viață extraterestre, deoarece numerele prime sunt complet independente de orice noțiune de limbaj, dar în același timp suficient de complexe încât să nu poată fi confundate cu rezultatul unui proces natural pur fizic.